圆锥曲线中弦长问题的研究
《圆锥曲线》是高中数学课程中的重要内容之一。纵观近几年的江苏高考，圆锥曲线所占分值在30分左右，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题。在解决圆锥曲线题目的过程中，它体现了解析方法和代数方法在刻画平面曲线方面的强大作用，反映了数形结合的重要思想。但在我校，学生对于圆锥曲线的学习中还存在一定的障碍，掌握的还不是很好。在高考中，填空题只要考查圆锥曲线的的几何性质，三种曲线都有可能考到；在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，涉及到定值、定点、弦长、最值、探索题、证明题、轨迹方程等问题，难度较高。本研究主要通过对2012年高考中圆锥曲线中弦长问题的一题多解的研究，让学生认识数学知识的产生过程、体会圆锥曲线的实际背景、掌握代数与几何相结合的思想方法，提高学习数学的兴趣，培养学生自主学习和合作学习的能力，发展学生创新能力和实践能力。
例题（ 2012年江苏高考题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
分析：本题是江苏高考的第19题，考查的问题是圆锥曲线中的常规问题，求方程及定值问题。我们今天主要就第（2）题中（i）问进行研究。要解决这一问，只要是对和的长度如何表示出来。
解法一：在圆锥曲线中，弦长的表示可以利用两点间距离。设直线、方程为，然后联列直线和圆锥曲线的方程，求出点坐标，用两点间距离公式。
由（1）得，，又∵∥，∴设、的方程分别为，.
∴.
∴.①
同理，.②
（i）由①②得，。解得=2.
∵注意到，∴.∴直线的斜率为.
总结：这个方法在计算弦长的时候思路是比较常规，缺点是带有根号的计算比较麻烦，学生有点害怕。这样的方法对计算要求较高，而且设直线要用的形式在计算中比较方便。
解法二：利用焦半径公式。因为本题中、都是过焦点的直线，可以利用椭圆的焦半径公式和椭圆的对称性，把条件“”转化成和之间的关系，在用韦达定理就可以了。
设
∴，
∴，
∴，即（★），
设的方程为
∴，再用韦达定理得到和代入（★）式即可。
总结：对于圆锥曲线中过焦点的直线，要很好的利用好圆锥曲线的第一定义和第二定义，用好圆锥曲线的性质，这样可以简化解题和计算过程。
解法三：用好来计算线段长。
设
设的方程为
∴，用韦达定理得到和
而，
，
∴，再把上面韦达定理代入计算即可。
总结：这个方法比起第一种来讲，虽然都是用两点间距离公式，但是这样的设直线的方法显然更加常规，学生比较容易接受。
解法四：利用直线的参数方程。已知直线过点且倾斜角为的直线的参数方程可以表示为
设的参数方程为，代入椭圆的方程，
∴，∴
,
∴，∴。
总结：这种方法在于巧妙的运用参数方程种的几何意义。
直线和圆锥曲线相交的弦长问题并不陌生，但在解决此类问题时学生往往出现方法单一，计算烦琐，效率低下等问题。本文用一题多解的方法可以让学生开阔思路，掌握代数与几何相结合的方法解决圆锥曲线中的问题。在教学及探索过程中，让学生进一步体会以形助数、数形结合的思想，激发学生的学习兴趣，培养学生的运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题、思考问题，分析问题，进一步提高他们分析和解决问题的能力．
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